一、SINGULARLY PERTURBED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SEMI-LINEAR RETARDED DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH NONLINEAR BOUNDARY CONDITIONS（论文文献综述）
任晶[1]（2021）在《分数阶方程的可解性与稳定性》文中研究说明分数阶微积分理论在现代数学中应用广泛,距今已有300多年的发展历史.分数阶微分（差分）方程解的研究是自然科学和工程领域中一个普遍关注的课题,在医学图像处理、定量金融、人口流动、神经网络和大型气候的研究中有重要的应用价值.因此,分数阶方程解的定性研究及应用是一项非常有意义的研究工作.本文针对几类典型的分数阶方程（系统）,利用不动点定理、分数阶比较原理、上下解方法、Lyapunov稳定性理论、微分包含和集值映射理论、Mittag-Leffler函数估计、不等式技巧等研究了分数阶方程边值问题解的存在性与稳定性.作为应用,进一步讨论了广义分数阶时滞忆阻神经网络的稳定性,并对结论进行了仿真验证.本文研究结果丰富了分数阶方程解的研究.全文分为五章.第一章,介绍所研究课题的来源、历史背景、国内外研究现状以及分数阶微积分相关的一些基本概念及性质.第二章,研究分数阶q-差分方程积分边值问题唯一解的存在性及多解性.第1节,依据u0-正线性算子的性质得到一类含Stieltjes积分条件的分数阶q-差分方程解的存在唯一性条件,其中Lipschitz常数与相应算子的第一特征值有关.并利用Guo-Krasno-selskii和Leggett-Williams不动点定理得到方程多重正解的存在性结果.第2节,基于分数阶比较原理及上下解方法证明了一类带有积分边值条件的高阶分数阶q-差分方程极值解的存在性.在分数阶q-差分方程中引入Stieltjes积分条件进行研究,这在文献中尚未见到.因此所得结果丰富了分数阶q-差分方程边值问题解的研究.第三章,研究分数阶微分系统解的存在性与唯一性.第1节,讨论含有p-Laplacian算子的广义Riesz-Caputo分数阶耦合系统多点边值问题.首先,在前一章的基础上给出混合上下解的定义,结合单调迭代法得到系统解存在的充分条件.其次,为了证明p=2时方程解的存在唯一性,建立了φ-（h,e）-凸算子不动点定理,在不要求上下解存在或紧性条件的情形下,得到Banach空间中算子方程A（x,x）+Bx+e=x存在唯一解的几个结论,为边值问题解的研究提供了新的方法.第2节,给出无穷区间上紧算子的判定准则,选取合适的Banach空间并利用不动点定理得到无穷区间上分数阶微分系统解的存在性和唯一性,其中非线性项依赖于低阶导数且边界条件含有扰动参数,与已有文献相比,本节所研究系统更具一般性.第四章,研究两类广义分数阶微分系统解的唯一性及稳定性.第1节,通过新的分数阶微分不等式建立比较定理,结合Lyapunov直接法得到广义微分系统的全局Mittag-Leffler稳定性标准.当系统含有时滞时,给出包含时滞Lyapunov函数的稳定性条件,借助Gronwall不等式来处理时间延迟的情形,与通常使用的Razumikhin工具相比,保守性相对较小.进一步将所得理论结果应用到广义分数阶忆阻神经网络中,由于时变时滞及参数ρ的影响,使得我们研究的系统更复杂,在较弱的条件下得到解的Mittag-Leffler稳定性标准.第2节,讨论中立型广义分数阶时滞系统解的唯一性及有限时间稳定性.一方面,给出Mittag-Leffler函数的一个估计式并建立了基于多参数Mittag-Leffler函数的Gronw all积分不等式（不含时滞）,结合ρ-Laplace变换间接得到系统的一个有限时间稳定性标准.另一方面,针对中立型系统,给出推广后的分数阶Gronwall积分不等式（含时滞）,直接得出系统有限时间稳定的一个新判据.作为应用,讨论了中立型广义分数阶忆阻神经网络的有限时间稳定性,并给出数值仿真验证了理论结果的有效性.文献中关于中立型广义分数阶系统的稳定性研究尚未涉及,本章的研究内容推广和完善了相关文献的结果.第五章对本文所研究内容进行了归纳总结,并对未来的研究工作做了展望.
冒钱城[2]（2021）在《一类半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题》文中研究表明非线性偏微分方程在自然科学的各个领域都有广泛的应用.其中,偏微分方程的奇异扰动问题对物理学,化学和生物学等学科的研究有重要的意义.本文主要研究带有三种不同边界条件的半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题,对边界层的厚度以及解在边界的渐近行为进行了分析.本文分为以下三个部分.第一部分对带有Dirichlet边界条件的问题进行了研究,通过内部估计和Pohozaev等式得到了边界层的厚度和解的导数在边界的渐近展开式;第二部分对球形区域上一类带有Robin边界条件的问题进行了研究,重点探讨了解在边界的渐近行为;第三部分对一般区域上带有非线性Neumann边界条件的奇异扰动问题进行了研究,利用极值原理证明了解的一致有界性,并通过上下解方法得到了解在边界的估计.
侯志春[3]（2021）在《基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题》文中提出在力学领域中普遍存在着非线性现象,数学形式上可以描述为非线性的初边值问题。但是由于非线性问题的复杂性,目前我们很难去找到其解析解,所以现在的工程问题中通常需要数值技术去解决。虽然目前已有数值算法中已经在该方面取得了很大的成功,但是现有的研究还是没有把非线性问题解决好。比如有多空间维度或高阶导数的存在时,一般都未能有效解决,非线性问题的存在使得现有算法难以凑效,尤其是三则耦合情况下更是无法解决。基于目前研究现状,本文针对高维高阶导数的非线性问题给出了高精度的求解方法,同时在解决薄板结构的弯曲问题时避免了有限元软件仿真分析导致的沙漏效应。本文基于一维小波方法,拓展了多维Coiflet小波积分逼近格式,构造了高维小波积分配点法,并通过数值算例验证了该算法的可行性。具体研究内容分三个部分介绍如下:（1）介绍了紧支性的正交Coiflet小波,基于此得到了有界区间上L2函数的多维小波积分逼近格式,通过泰勒多项式插值展开对逼近格式的误差精度给出了证明。之后对三维空间中的边界端点处存在的跳跃现象进行了改进,获得了更为稳定的小波函数积分形式,给出了高维高阶小波积分配点法的数值离散格式。（2）考虑到泊松方程经常被用来验证一种新算法的优劣,本文利用极端的高维高阶类泊松问题去验证前面构造的小波积分配点法。我们分别分析了二维4到8阶以及三维4阶类泊松方程的数值精度,发现本文所构造的方法求解精度不依赖于空间维数以及最高阶导数阶数,更重要的是始终保持和直接逼近函数一样的高精度。（3）针对于在力学结构分析中的矩形薄板大挠度弯曲问题,诸如有限元算法会因为形函数阶数太低不能描述弯曲状态而导致沙漏效应。小波方法引入高阶形函数进行插值,可以准确表达板的弯曲状态,且小波积分配点法采用积分的思路,不依赖于导数,不会损失求解精度。我们通过在板的中心加载集中力验证了该算法完全可以避免剪力锁闭现象,以及在精度方面保持了与理论分析的一致性。
杨录峰[4]（2021）在《几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究》文中认为谱方法因其具有谱精度,被广泛的用于各种问题的数值求解之中,但对于奇异摄动问题,经典谱方法需要大量节点才能刻画边界层的变化规律,得到高精度的数值解.为了改善奇异摄动问题数值模拟的效率,一部分学者从减轻问题的奇异性出发,将问题的解分解为正则分量和奇异分量分别求解;另一部分致力于改进数值方法,使网格节点更多的向边界层聚集,以适应奇异摄动问题求解的需要.本文结合这两类处理方法的优点,提出了基于奇异分离技术的谱方法.第一章介绍了奇异摄动问题的研究背景、研究进展以及本文的研究问题和主要工作.第二章考虑二阶奇异摄动问题,首先利用渐近展开理论结果预先确定边界层的位置和宽度,即确定sinh变换的参数,使Chebyshev-Gauss-Lobatto节点向边界层聚集,然后利用奇异分离技术将奇异摄动问题分解为弱奇异辅助边值问题和确定边界层校正函数的问题.利用含sinh变换的有理谱方法求解弱奇异摄动边值问题,得到解的正则分量,利用边界条件和问题的特征值,显式确定奇异校正函数,并给出了误差估计式.对于变系数问题,利用奇异摄动分离构造校正函数,然后利用谱方法求解正则分量及奇异分量的待定参数,进而组合得到原问题的数值解,最后通过数值实验,验证理论结果.第三章考虑二阶奇异摄动方程组问题,利用基于奇异分离技术的有理谱方法分别求解弱耦合反应扩散问题和强耦合对流扩散问题,分别推导并证明了通解表达式,然后应用有理谱方法求解弱奇异摄动问题确定原问题的一个特解,并利用边界条件确定了奇异校正函数的显式表达式,并证明了该方法当很小时几乎达到谱精度.对于变系数奇异摄动方程组,我们同样利用系数矩阵的特征值和相应的特征向量构造校正函数刻画奇异分量,然后利用谱方法求解弱奇异方程组,得到正则分量与奇异分量的参数,组合奇异分量与正则分量得到问题的解.最后利用数值算例验证了理论分析的结果.第四章考虑含不连续源项或界面条件的奇异摄动问题的数值模拟.将整个区间上的奇异摄动问题分解为左、右子问题,然后对每个子问题采用有理谱方法求解弱奇异性问题确定正则分量,利用边界条件和界面条件确定奇异校正函数的参数,最后利用缝接法得到原问题的解.数值实验验证了该方法能够高精度的求解此类问题.第五章对于抛物型奇异摄动问题和时间分数阶奇异摄动问题.利用Laplace变换法将非定常微分方程变换为频域上的关于空间变量的常微分方程边值问题,然后利用基于奇异分离技术的谱方法求解含参数的奇异摄动边值问题,利用最后利用Talbot方法,数值求解逆Laplace变换得到原问题的数值解.Laplace变换的使用规避了时间演进中对时间步长的限制要求.数值实验验证该方法具有高精度.
周文俊[5]（2020）在《基于多域法的船舶时域非线性水动力分析及大幅运动预报》文中研究表明波浪中航行船舶的水动力计算是船舶耐波性研究的基本内容,是进行船型设计和优化的重要基础。随着新型船舶种类的不断增加,性能指标的不断提升,对船舶水动力学研究的要求也不断提高。虽然计算机技术的发展使得计算流体力学（CFD）方法在船舶水动力学研究中逐渐增加,但是计算耗时长限制了其在这一领域的广泛使用。基于三维势流理论的数值方法依然是当前研究的主要手段。传统的线性、微幅、频域的计算模型越来越难满足研究及工程实际需求,新型的非线性、大幅、时域的计算模型成为研究的发展方向。目前,国内外学者在势流领域的研究中对船舶在线性波浪中微幅运动情形考虑较多,计算模型中非线性成分考虑较少,对于非线性波浪中大幅运动及相关物理现象的研究仍不够充分。基于传统势流方法的主流商用软件也大多存在这样的问题。所以,如何构建准确、高效、适用性广泛的水动力分析数值方法,是当前研究船舶耐波性的关键点,也是本论文的主要研究内容。航行船舶时域水动力计算问题主要采用边界元法结合格林第二定理进行求解。根据格林函数的不同,可以分为三类:Rankine面元法（亦称简单格林函数法）、时域自由面格林函数法和多域混合格林函数法（亦称多域法）。Rankine面元法中虽然格林函数形式简单,计算稳定,但网格离散量大,自由面需要数值截断并补充远方辐射条件;时域自由面格林函数法中虽然只需在物面划分网格布置源,但格林函数形式复杂,计算困难且耗时,且在近自由面处存在振荡发散的现象。多域混合格林函数法结合前两者的优点,采用假想垂直控制面分割计算域,内域采用Rankine面元法,外域采用时域自由面格林函数法,控制面保持速度势及其法向导数的连续,内外域联立求解。多域法在研究和实际应用中均有很大的发展潜力,代表了基于势流理论的数值实现的方向。经过研究和总结,当前基于多域法的研究存在以下问题:1)内域非线性成分考虑不够充分;2)外域时域自由面格林函数计算处理粗糙;3)入射波浪自身非线性考虑不足。本文将针对这三个问题,提出新型的多域法计算模型,研究航行船舶大幅非线性运动计算及相关应用问题。首先,论文中对多域法中内域部分进行改进,提出考虑入射波（Incident Wave）耦合项影响的新的多域法计算模型（MDHOBEM＿IW）。在此方法中,理论上,基于定常兴波、入射波速度势及其引起的波面抬升为零阶量,非定常扰动速度势及引起的波面抬升为一阶小量这一假设,重新推导了非线性自由面动力学边界条件、自由面运动学边界条件和物面边界条件,与控制方程共同组成了非线性边界条件下的定解问题。与传统多域法（MDHOBEM）相比,新的方法更多地考虑了入射波浪对辐射、绕射等问题的影响。数值上,结合高阶面元法,得到多域法的离散边界积分方程,求解后得到非定常扰动速度势及水动力,结合时域运动方程得出六自由度船体运动时历。以5艘具有不同外形特征的船型（Wigley III,S175,S60,KCS和50500T）为对象,计算了它们在波浪中运动响应并和试验进行了对比,验证了当前方法计算结果的收敛性、准确性。以C11船型为对象,用MDHOBEM＿IW研究了规则波和不规则波中的参数横摇现象,通过与仅考虑兴波影响的多域法（MDHOBEM）的计算结果对比,证明了当前模型在进行船舶航行于线性波浪中大幅运动预报的优势。其次,对于外域部分计算,论文提出一种垂向积分（Vertical Integral）形式的多域法（MDHOBEM＿VI）与内域并行地进行改进。此方法在求解控制面上格林函数的面元积分时,通过先进行空间垂向积分,得到新的面元积分格林函数的核函数,并推导了其满足的四阶常微分方程和初值条件。垂向积分形式的核函数在面元上积分计算的收敛性优于原始的点源形式的核函数,数值结果也表明垂向积分形式的格林函数面元积分的稳定性更好。此外,垂向积分方法也减少了外域记忆项的计算量,节省了计算时间,尤其是对长时间时域模拟提高较大。以3艘具有不同外形特征的船型（Wigley III,S175和50500T）为对象,研究了它们在波浪中的运动响应和阻力增加,发现MDHOBEM＿VI在保持计算精度的同时,提高了计算效率和稳定性。最后,在内、外域计算改进的基础上,论文提出一种基于高阶谱（Higher Order Spectrum,HOS）方法生成入射波浪的多域法（MDHOBEM＿HOS）。与先前研究相比,此方法不仅考虑了“船-波”相互作用,也考虑了波浪自身演化及其非线性,即“波-波”相互作用。通过数值模拟表明,与线性波浪场相比,HOS生成波浪的波场具有明显的非线性。以3艘具有不同外形特征的船型（S175,S60和某内倾船）为对象,采用MDHOBEM＿HOS方法计算非线性波浪中船舶运动响应时,能更好地捕捉非线性现象,在进行危险、极端工况中的运动（如参数横摇）预报时更具优势。综上所述,论文基于三维势流理论,从内域、外域和波浪激励三个层面对多域法进行改进,提出了不同层次的船舶水动力学数值计算模型,形成了一套系统、准确、稳定、高效、适用广泛的对船舶在波浪中运动及其应用进行研究分析的方法,具有重要的研究和工程实际价值。
张伟[6]（2020）在《若干分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性》文中进行了进一步梳理非线性常微分方程边值问题是微分方程定性理论中一个重要分支,具有广泛的应用背景.近年来,随着分数阶微积分理论的发展,分数阶微分方程在许多领域被广泛的应用,如:物理力学领域、反常扩散研究领域、自动控制领域、生物医学领域等.从而对分数阶微分方程边值问题的研究受到人们的重视,得到了许多深刻的结果.本文在已有工作的基础上,利用推广的集值映射型Leggett-Williams定理、改进的k-集压缩算子抽象连续性定理、Avery-Henderson不动点定理和经典的临界点理论、拓扑度理论等理论方法研究了几类分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性.作为应用,本文还讨论了星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性与Ulam型稳定性.所得新的结果推广和丰富了相关领域的研究成果,改进后的定理为研究相关问题提供了新的方法.全文分为七章.第一章介绍了所研究问题的研究背景和研究现状,本文的主要工作以及文中所需用到的基本概念和相关引理与定理.第二章研究了分数阶拟线性微分包含系统共振边值问题正解的存在性.将O’Regan和Zima证明的线性算子集值映射型Leggett-Williams定理推广到拟线性算子情形,得到拟线性算子集值映射型Leggett-Williams定理,并运用该定理给出了一类带p-Laplacian算子的分数阶微分包含系统共振边值问题正解的存在性结果.本章的结果丰富了相关领域的理论成果,并为讨论带拟线性算子的微分包含系统共振边值问题正解的存在性提供了研究方法.第三章研究了两类分数阶隐式微分方程耦合系统边值问题解的存在性.我们改进了 k-集压缩算子抽象连续性定理,为运用该定理讨论微分方程共振边值问题简化了验证过程.利用改进的k-集压缩算子抽象连续性定理给出了带扰动项的分数阶耦合系统周期与反周期边值问题解的存在性条件.此外,还运用Mawhin连续性定理证明了分数阶隐式微分方程耦合系统周期边值问题解的存在性.注意到,运用连续性定理处理分数阶隐式微分方程边值问题的研究工作尚不多见.本章的研究工作推广、改进和修正了相关文献的结果.第四章研究了无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分边值问题解的存在性与多重性.为证明问题解的多重性结果,本章建立了一个新的不动点定理,即,改进的Avery-Henderson不动点定理,给出存在三个不动点结论（原定理是两个不动点存在性）,运用该定理和其他不动点定理以及单调迭代方法讨论了无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分与多点边值问题正解的存在性和多重性.此外,我们还研究了无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分共振边值问题,得到了解存在性结果,并证明了方程非线性项依赖于低阶导数情形的算子紧性判定准则（见引理4.7）.本章改进的Avery-Henderson不动点定理为研究微分方程边值问题的多解性提供了判定准则.与已有文献相比,本章所研究的问题更一般,定理所给条件更弱.第五章研究带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的分数阶微分方程Dirichlet问题解的存在性与多重性.运用极小作用原理和山路定理等临界点定理分别建立了脉冲问题以及含参脉冲问题解的存在性与多重性结果.以往的工作只是研究带一种脉冲形式的分数阶微分方程边值问题,所以本章研究的问题更宽泛,所得结果丰富了分数阶脉冲微分方程边值问题相关研究工作.第六章研究星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性、唯一性以及Ulam型稳定性.本章研究的问题是微分方程边值问题在星图上的应用.通过运用Schaefer不动点定理和Banach压缩映射定理建立了星图上系统微分方程边值问题解的存在性与唯一性,同时证明了相关Ulam型稳定性.与已有文献相比我们研究的问题模型更具一般性,在较弱的条件下得到了解的存在性结果且还讨论了Ulam型稳定性.注意到,目前关于Ulam型稳定型在星图上微分方程边值问题以及高维（n>2）分数阶微分系统边值问题的研究中尚未涉及.因此,本章我们的工作推广、改进和丰富了相关结果.第七章总结了本文的主要结果,并对后续工作进行了展望.
薛婷婷[7]（2020）在《几类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的可解性》文中研究说明近年来,随着分数阶微分方程的应用越来越广泛,众多学者开始关注分数阶微分方程,并对分数阶边值问题做了大量的研究.在此基础上,本文利用变分方法、上下解方法、单调迭代法、迭合度方法以及不动点定理等方法研究几类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的可解性,得到一些解存在的结果,所得结果在一定程度上推广和完善了一些已有工作.全文分六章.第一章简单介绍所研究问题的背景、意义和研究现状,叙述了本文的主要工作以及分数阶微积分一些相关的定义和性质.第二章用临界点理论研究两类分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题的可解性.首先用Nehari流形方法,给出在非线性项满足弱于超p次Ambrosetti-Rabinowtiz型的条件时基态解的存在性定理.据我们所知,该问题基态解的存在性还未曾研究过.其次,在非线性项f=f1+f2,f1满足弱于超p次Ambrosetti-Rabinowtiz型的条件,f2是无穷远处的次线性增长时,利用临界点理论得到两个非平凡弱解的存在性定理.对此类问题的研究以往的工作多是利用Ambrosetti-Rabinowtiz条件,所以本章结果改进、丰富了以往的相关结果.第三章在变分框架下研究具有脉冲效应的分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题及耦合系统的多解性,在非线性项满足一类新的条件及脉冲函数满足次线性条件时,利用三临界点定理得到上述问题至少有三个弱解的存在性结果,并用亏格的性质得到Sturm-Liouvlle边值问题无穷多解的存在性结果.关于带脉冲效应的分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题尚未见到有类似研究.与已有相关工作相比,将方程和边值条件推广到更一般的形式并且弱化了已有的相关条件.第四章用上下解方法研究分数阶p-Laplacian方程边值问题最大（小）解的存在性和唯一性.首先用正向上下解研究一类分数阶p-Laplacian微分方程,在不同边界条件下最大（小）解的存在性和唯一性.通过建立新的比较原理,利用上下解和单调迭代方法,得到上述问题最大（小）解的存在性和解的唯一性结果.其次在反向上下解条件下研究一类带p-Laplacian算子的分数阶边值问题最大（小）解的存在性.通过建立反向上下解下几个新的比较原理,利用单调迭代法,得到该类问题最大（小）解的存在性结果.对正向上、下解,将已有的带线性微分算子问题推广到带拟线性微分算子边值问题.对反向上、下解,由于上、下解反序,使得基于反向上下解建立比较定理很困难,目前尚未见到用反向上下解方法研究带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题最大（小）解的存在性.第五章研究变指数分数阶p（t）-Laplacian方程共振边值问题的可解性.首先研究一类带p（t）-Laplacian算子的分数阶周期共振边值问题解的存在性.由于变指数算子p（t）-Laplacian是非线性的,不能直接使用Mawhin连续定理.为此,本章建立了新的连续定理,在此基础上,得到周期共振边值问题解的存在性结果.其次,在高维核空间情况下,研究一类带p（t）-Laplacian算子的分数阶积分共振边值问题解的存在性.通过适当变换,将非线性p（t）-Laplacian算子方程转化为线性微分算子方程,然后利用连续定理,证明积分共振边值问题解的存在性.与已有相关工作相比,所研究的问题更一般,其对应核空间的维数更高.第六章总结本文的主要工作,并对以后的研究进行了展望.
万众[8]（2020）在《圆柱壳大变形弯曲分析的小波方法》文中进行了进一步梳理结构的大变形弯曲一直以来都是人们重点关注的话题,也是检验结构优劣的一个重要标准,因此在实际工程应用中对结构的大变形弯曲分析是必不可少的环节之一。已有的传统分析方法包括:有限元法和有限差分法等。近年来,圆柱壳结构作为一类新型结构,由于其独特的几何构型和良好性质被广泛应用于各个领域,例如:石油运输管道,拱形桥梁等。因此对于圆柱壳结构大变形弯曲的分析也就显得尤为重要。但由于圆柱壳的大变形弯曲问题涉及到高空间维数、强非线性以及复杂边界等诸多问题,计算存在困难。传统的有限元法和有限差分法对于强非线性问题并不适用且在求解分析时会出现剪力锁死的情况,无法完整表述结构变形的一系列特征,同时对于复杂结构的计算以上两种传统方法的计算量也过于巨大。因此本文将采取小波方法对圆柱壳体的大变形弯曲问题进数值求解分析。小波方法作为一类新兴的数值算法,由于其尺度基函数具有光滑性,正交性以及紧支撑等优良特性,使其可以避免在计算中出现剪力锁死的情况,很好克服传统方法缺陷的同时还可以保证极高的计算精度。因此在力学结构的分析中得到广泛应用,到目前为止小波方法已经在分析低维度梁和板的非线性变形问题中取得了良好成果。但对于高维度,非线性变形的复杂结构问题却从未涉及和验证过。本文首先在计算圆柱壳体弯曲变形之前给出了小波封闭解法的定义,并通过推导验证得出:小波封闭解法可以应用到强非线性问题的数值求解当中,然后在对圆柱壳体施以径向均布压力的条件下,对其弯曲变形进行数值求解和分析,并将所求得数值结果与有限元软件Abaqus的模拟结果进行对比。本文的研究主要成果如下:（1）本硕士学位论文针对两边简支且受径向均布载荷的圆柱壳体大变形弯曲问题,给出了运用小波数值方法求解的具体计算步骤与程序。（2）本论文把小波算法在力学结构中的应用范围扩展到了高维度,大变形的复杂结构中,并将圆柱壳在非线性条件下求出的数值结果与有限元方法对比后,得出小波数值算法适用于求解复杂的高维度圆柱壳体结构大变形问题的结论。
王震[9]（2020）在《求解奇异摄动微分方程的基于随机采样的神经网络方法》文中研究表明奇异摄动问题常出现在流体力学、生物科学、控制理论、经济学和工程学等许多应用中,是一种最高阶导数项有一个小参数的微分方程.该参数称为奇异摄动参数,它导致了微分方程的解在边界附近的某些区域存在很大的梯度,这一现象被称为边界层现象.由于这种现象的存在,使用传统微分方程数值解法求解该问题很难达到较好的效果.神经网络凭借其出色的函数拟合能力,已逐渐发展成为解决各种现实问题的有力技术.近年来,学者们开始关注使用神经网络和深度学习求解微分方程的研究.其关键技术是使用神经网络构造微分方程的近似解,然后将微分方程的求解转化为一个关于神经网络参数的线性方程组或非线性优化问题.本文从奇异摄动微分方程自身解的特点出发,对已有的模型进行了改进和创新,提出了用于解决该问题的新型神经网络算法.第一章,介绍了奇异摄动问题的背景知识,简述了奇异摄动微分方程的发展以及求解奇异摄动问题的两类主流的传统算法.然后列出了一些神经网络求解微分方程已有的研究成果.最后,通过将神经网络方法与传统数值方法比较,得出了神经网络求解微分方程的优势,进而引出了本文的研究动机和出发点.第二章,介绍了本文的相关理论知识,包括神经网络原理、Legendre多项式的定义及相关性质.第三章,提出了一种基于投影和分段优化的Legendre神经网络,用于求解线性奇异摄动初边值问题.首先生成均匀网格点,并对均匀网格点做投影变换,使得大多数网格点分布在快变区间.然后使用单隐层Legendre神经网络构造方程的近似解,并将投影后的网格点以及近似解代入微分方程和初边值条件.至此,线性奇异摄动问题已经被转化为一个关于神经网络参数的线性方程组求解问题,沿用传统数值方法中区域分解的思想,针对初值问题和边值问题分别提出了对应的分段优化求解的策略.数值实验表明,本文所提出的方法适用于线性奇异摄动初边值问题的求解,并且可以取得不错的效果.第四章,提出了一种基于截断对数正态分布采样的多层神经网络算法,用于求解非线性奇异摄动初边值问题.首先使用多层前馈神经网络构造微分方程的近似解,并根据具体的初边值条件将近似解做变换,使得变换之后的近似解可以自然满足初边值条件.然后将该近似解代入微分方程,将等式左右两边的误差平方作为目标损失函数.接下来使用小批量随机梯度下降算法对该目标函数进行优化,为了使得优化过程中使用的样本点聚集在快变区间,本文从截断对数正态分布中采样得到每一轮迭代所使用的样本点.最后,通过数值实验表明,本文所提出的方法适用于非线性奇异摄动初边值问题的求解,并且在ε很小时也可以取得不错的效果.第五章,对本文所做的主要工作进行总结,指出了本文提出的神经网络算法用于求解奇异摄动微分方程的优势和不足,并对下一步工作做了规划和展望。
徐聪[10]（2020）在《复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法》文中指出伴随着人类知识范围的扩展,非线性科学的地位不断上升。由于非线性模型并不满足叠加原理,不能通过对问题的简单分解来进行量化分析,因此不存在一般的获取精确解的解析方法。为了求解非线性问题,数值计算方法在大多数情况下是惟一可行的选择,并占据着至关重要的位置。另外,实际问题还要求可在复杂区域上执行的算法,而目前的传统方法难以同时处理发生在复杂区域上的非线性问题。注意到本研究组在先前工作中提出的小波方法具有求解非线性方程的强大潜力,本文将其扩展到不规则区域上,提出一种兼顾非线性处理与复杂区域求解的高精度小波数值方法。为了形成一套普适性的求解初边值问题的总体方案,本文还给出了一种计算初值问题的小波多步方法。此外,在前人工作的基础上,本文进一步提高了小波方法对非线性方程的计算精度。Coiflet族小波具有适合数值计算的优良属性。作为基础工作,在滤波器系数组的设计上,本文通过改变消失矩参数的方式,给出了几种属于3N+2族的Coiflet小波。它们比前人工作中构建的3N族小波具备更好的光滑性,可将基函数展开的收敛速度提高一阶。本文在理论上提出了一种适用于Coiflet型小波的改进的计算支撑区间外多重积分值的方法,提供了一种直接的多项式型的解析表达式。该式能够快速计算任意点上的积分值,且不再依赖于滤波系数的介入。这减少了可能的数值舍入误差并提升效率,也为后文的数值积分格式作出了铺垫工作。在小波逼近格式方面,为了减少边界延拓引入的额外误差,本文构造了高阶的Lagrange型延拓格式,克服了原有方案采用的低阶差分格式与小波方法自身的高精度并不匹配的问题。该式在15节点下对tanh（x）的逼近误差可以低至10-8量级,优于其它算法。将该式扩展到二维区域,未发现边界附近的误差有明显增大的现象,证明了其有效性。由于强非线性问题对逼近精度的要求很高,本文构造了一种引入Richardson外推技术的高精度小波配点方法。通过引入半步长的方式并调整系数,能够抵消掉低阶误差项,从而提高了算法的收敛速度。它保留了原算法的全部优点,拥有插值性与高阶光滑性,能够解耦方程中的低阶项与高阶项,使得误差与逼近格式自身无关,且容易施加边界条件,可以无缝替代原算法。最后介绍了一种积分型的小波逼近方法。考虑到未来的工作要在更一般的区间上求解问题,插值点的数量可能会跟随边界形状而不断变化,本文通过使用Newton形式的单向延拓对原有算法进行修改。该格式移除了原算法的一些限制,现可使用任意数量的插值点并在任意长度的区间内施行,这是本文在复杂区域上进行计算的核心之一。对比了4、5与6点方案,我们发现取6节点的延拓已经几乎抑制了边界附近的误差波动。在几何形状复杂的区域上,经典算法往往精度受限,这对非线性问题的计算十分不利。部分精度较好的算法通常难于处理不规则区域,且施加边界条件遭遇到困难。为了兼顾两方面的需求,作为本文的主要工作,提出了一种可在任意形状区域上执行的小波方法。该方法具有良好的泛用性,对边界形式没有特殊要求。它采用了将复杂区域嵌入直角坐标网格的处理方式,无须去拟合复杂的曲线边界,不需要耗费大量时间的网格生成工作,可配合各种简单的网格划分技术以提高效率。小波基的高度光滑性质使此方法具备快速的收敛速度,能够容许在相对粗糙的网格上进行操作,并仍可给出较高精度的结果。小波基的插值性质允许该方法能以简洁的方式操作非线性算子。作为强形式的配点方法,无需将方程修改为弱形式,可以直接求解,对变分原理不存在的某些非线性问题同样有效。其高度的稳定性与合适的边界延拓相结合,避免了其它方法中的系数矩阵病态与边界振荡的弱点。此法还能以精确形式满足不同种类的边界条件,而不是采取某种近似方式来施加。该方法直接生成适合大规模计算的稀疏矩阵,避免了某些经典方法中先离散然后根据边界条件修改总体矩阵带来的低效率。为了分析随时间发展的动态问题,本文提出了一种求解初值问题的小波多步算法。通过调整小波消失矩的参数,可构造出一种强稳定的隐式多步方案。这种方法的导出过程并未借助于传统理论,而是从Coiflet小波近似格式得到。然而其一致性、收敛性与稳定性却能满足经典理论给定的必备条件。绘制出的稳定区域图像与阶星图也能从侧面证明这些属性。利用一种小波逼近给出的预测方法,可以与上述隐式方法合并,从而建立出一套完整的显式的预测-校正方案。若引入Richarson外推技术,这种算法还能进一步加速。我们将会把这种方法与空间上复杂区域的小波算法结合起来,以形成一套总体的初边值问题求解方案。最后,本文通过对一些典型数学方程的计算来展示上述小波方法的优点。由于p-Laplacian方程蕴含了很多数值计算中的难关,其数值解答具备较高的实用价值。在导出新算法的过程中,本文将其作为非线性方程的典型范例进行研究。求解过程中利用了先前建立的小波Galerkin方法与新型小波方法的基本思想。小波方法展现出高精度的特性。其中一例显示小波方法达到了10-7量级的精度,远远好于有限元方法。另一例表明小波方法使用70%左右的节点数便达到了与有限单元法相近水准的精度。与两种有限体积方法的对比,表明小波方法拥有更快的收敛速度。当利用积分型的小波方法求解此问题时,它给出的解与打靶法和有限差分方法几乎完全一致。然而小波方法仅使用1/32的步长,其精度便与差分方法在1/800步长下输出的解大致相当。表明小波型方法具有极高的精度。通过小波Richardson配点方法,计算了数个具有代表性的非线性方程以及一个稳态流动问题。数值结果表明此算法提高了计算精度,其预期行为与理论完全相符,取得了5阶的收敛性能。其中一例显示此法在16节点下的精度已经接近了原方法在32节点下的精度。另一例的结果表明这种新方法计算出的解比原方法更平稳。在不同形状的几何区域上,本文计算了非线性Poisson方程、直杆扭转问题与薄板弯曲问题。小波方法不仅精度优异,对边界的形式也不敏感。相比于有限单元法,小波方法收敛十分快速,在1000个节点以内便能接近有限元方法超过6000节点才能达到的精度,表明其良好的计算效率。其中一例显示出在有限元方法收敛较慢且精度不佳的情形,小波方法仍然有能力计算出高精度的解。多个非线性初值问题的算例展示了小波隐式与显式多步方法的精度与收敛性能。其中一例显示出,对于一些同阶的其它算法不能很好处理的问题,小波多步方法仍可提供较优的计算精度。
二、SINGULARLY PERTURBED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SEMI-LINEAR RETARDED DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH NONLINEAR BOUNDARY CONDITIONS（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、SINGULARLY PERTURBED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SEMI-LINEAR RETARDED DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH NONLINEAR BOUNDARY CONDITIONS（论文提纲范文）
（1）分数阶方程的可解性与稳定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号注释 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景与现状 |
| §1.2 研究的主要内容 |
| §1.3 预备知识 |
| 第二章 分数阶q-差分方程积分边值问题的解 |
| §2.1 含Stieltjes积分条件的非局部q-分数阶边值问题 |
| §2.1.1 引言与预备知识 |
| §2.1.2 主要结论 |
| §2.2 含积分边值条件的分数阶q-差分方程解的存在性 |
| §2.2.1 引言与预备知识 |
| §2.2.2 主要结论 |
| 第三章 分数阶微分系统解的存在性与唯一性 |
| §3.1 具有双边记忆效应的p-Laplacian广义分数阶耦合系统的可解性 |
| §3.1.1 引言与预备知识 |
| §3.1.2 “A+B+e”型算子的不动点定理 |
| §3.1.3 主要结论 |
| §3.2 半轴上分数阶耦合系统解的存在性与唯一性 |
| §3.2.1 引言与预备知识 |
| §3.2.2 主要结论 |
| 第四章 广义分数阶微分系统解的存在唯一性与稳定性 |
| §4.1 广义分数阶微分系统的Mittag-Leffler稳定性分析与应用 |
| §4.1.1 引言与预备知识 |
| §4.1.2 主要结论 |
| §4.1.3 在忆阻神经网络中的应用及数值仿真 |
| §4.2 中立型广义分数阶微分系统的有限时间稳定性分析与应用 |
| §4.2.1 引言与预备知识 |
| §4.2.2 主要结论 |
| §4.2.3 在忆阻神经网络中的应用及数值仿真 |
| 第五章 总结与展望 |
| §5.1 结论总结 |
| §5.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的主要研究成果 |
| 致谢 |
| 个人简介及联系方式 |
（2）一类半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 背景及意义 |
| 1.2 国内外的研究进展 |
| 1.3 本文的主要结论 |
| 1.4 文章的主要结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 椭圆型偏微分方程的重要定理 |
| 2.2 上下解方法 |
| 2.3 唯一延拓定理 |
| 2.4 一类奇异扰动问题的估计 |
| 2.5 半空间上解的唯一性引理 |
| 第3章 Dirichlet问题的讨论 |
| 3.1 p的存在性与唯一性 |
| 3.2 解的存在性和唯一性 |
| 3.3 球形区域 |
| 3.4 一般区域 |
| 第4章 Robin问题的讨论 |
| 4.1 解的唯一性 |
| 4.2 内部估计 |
| 4.3 更精细的估计 |
| 4.4 定理1.4的证明 |
| 4.5 一般区域的探讨 |
| 第5章 一般区域上非线性Neumann问题的讨论 |
| 5.1 解的唯一性 |
| 5.2 解的一致有界性 |
| 5.3 内部估计 |
| 5.4 边界估计 |
| 5.5 解在边界具体的渐近展开式 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 附录A |
| A.1 半空间上的唯一性 |
| A.2 常微分方程解的性质 |
| A.3 Φ(0)的具体计算 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读学位期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
（3）基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 小波理论的起源与发展 |
| 1.3 小波在数值计算中的应用 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 小波数值分析的基础理论 |
| 2.1 多分辨分析和Coiflet小波基的构建 |
| 2.1.1 多分辨分析基础 |
| 2.1.2 Coiflet小波基的构造 |
| 2.2 有界区间上L~2函数的Coiflet小波逼近 |
| 2.3 本章总结 |
| 第三章 高维小波积分配点法 |
| 3.1 高维小波积分配点格式 |
| 3.2 非线性边值问题的误差分析 |
| 3.3 本章总结 |
| 第四章 非线性边值问题中的应用 |
| 4.1 类泊松方程的数值分析 |
| 4.1.1 二维Poisson方程 |
| 4.1.2 三维Poisson方程 |
| 4.2 矩形板的大挠度弯曲问题 |
| 4.2.1 控制方程的代数离散格式 |
| 4.2.2 数值计算结果与讨论 |
| 4.2.3 有限元软件失真分析 |
| 4.3 本章总结 |
| 第五章 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录 A 尺度函数在整数点的积分值 |
| 附录 B 计算尺度基函数所需的系数值 |
| 附录 C 三维边值问题的小波积分配点格式 |
| 附录 D 非线性偏微分方程各偏导项推导过程 |
| 致谢 |
（4）几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇异摄动问题 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 渐近方法 |
| 1.2.2 数值方法 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第2章 二阶奇异摄动边值问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 有理谱方法 |
| 2.1.2 Sinh变换 |
| 2.1.3 奇异分离技术 |
| 2.2 渐近分析 |
| 2.2.1 反应扩散方程 |
| 2.2.2 对流扩散反应方程 |
| 2.3 误差分析 |
| 2.3.1 最值原理 |
| 2.3.2 误差估计 |
| 2.4 算法实现 |
| 2.4.1 反应扩散方程 |
| 2.4.2 对流扩散反应方程 |
| 2.5 变系数问题 |
| 2.5.1 变系数对流扩散问题 |
| 2.5.2 变系数反应扩散问题 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 小结 |
| 第3章 奇异摄动方程组问题 |
| 3.1 渐近分析 |
| 3.2 常系数奇异摄动方程组问题 |
| 3.2.1 反应扩散型问题 |
| 3.2.1.1 奇异分离技术 |
| 3.2.1.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.1.3 误差分析 |
| 3.2.2 对流扩散型问题 |
| 3.2.2.1 奇异分离技术 |
| 3.2.2.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.2.3 误差分析 |
| 3.3 变系数问题 |
| 3.3.1 反应扩散型问题 |
| 3.3.2 对流扩散型问题 |
| 3.3.3 对流扩散反应型问题 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 含界面条件的奇异摄动问题 |
| 4.1 反应扩散问题 |
| 4.1.1 渐近分析 |
| 4.1.2 RSC-SSM方法 |
| 4.2 对流扩散问题 |
| 4.2.1 渐近分析 |
| 4.2.2 RSC-SSM方法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 非定常奇异摄动问题 |
| 5.1 抛物型奇异摄动问题 |
| 5.1.1 Laplace变换 |
| 5.1.2 数值逆Laplace变换 |
| 5.1.3 数值实验 |
| 5.2 时间分数阶奇异摄动问题 |
| 5.2.1 分数阶微积分 |
| 5.2.2 Laplace变换 |
| 5.2.3 数值实验 |
| 5.3 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作的总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（5）基于多域法的船舶时域非线性水动力分析及大幅运动预报（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 切片法 |
| 1.2.2 三维Rankine面元法 |
| 1.2.3 三维自由面格林函数法 |
| 1.2.4 三维多域法 |
| 1.3 本文主要研究工作和创新点 |
| 1.3.1 本文主要工作 |
| 1.3.2 本文创新点 |
| 第2章 三维时域非线性水动力分析 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 坐标系及运动物理量 |
| 2.3 空间变量离散的高阶面元法 |
| 2.4 初边值问题 |
| 2.4.1 初边值问题的一般表达 |
| 2.4.2 定常兴波势的边值问题 |
| 2.4.3 非定常扰动势的初边值问题 |
| 2.5 基于边界元法的初边值问题求解 |
| 2.5.1 Rankine面元法 |
| 2.5.2 自由面格林函数法 |
| 2.5.3 多域法 |
| 2.6 多域法的水动力表达 |
| 2.7 数值计算结果及分析 |
| 2.7.1 基本势(?)_f的分布及过渡 |
| 2.7.2 m项分布 |
| 2.7.3 扰动势及其引起波高分布 |
| 2.7.4 水动压力分布 |
| 2.8 本章小结 |
| 第3章 基于多域法的船舶在线性规则/不规则波中大幅运动预报 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 船舶在波浪中时域运动方程 |
| 3.2.1 运动方程推导 |
| 3.2.2 线性不规则波的生成 |
| 3.2.3 横摇阻尼计算 |
| 3.2.4 时域运动计算流程图 |
| 3.3 规则波中运动计算 |
| 3.3.1 收敛性验证 |
| 3.3.2 运动RAO验证 |
| 3.3.3 波浪幅值对两种方法的影响 |
| 3.4 线性规则波中大幅运动计算 |
| 3.5 线性不规则波中大幅运动计算 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 基于垂向积分形式时域格林函数的多域法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 垂向控制面上格林函数面元积分 |
| 4.3 垂向积分法的核函数 |
| 4.3.1 垂向积分法核函数的表达 |
| 4.3.2 垂向积分法核函数的求解 |
| 4.3.3 垂向积分法核函数的分布 |
| 4.4 垂向积分法精度验证 |
| 4.4.1 (?)在垂向线段上积分 |
| 4.4.2 (?)/(?)n在垂向面元上积分 |
| 4.5 垂向积分多域法的应用 |
| 4.5.1 二阶力的表达 |
| 4.5.2 Wigley III运动响应及波浪增阻 |
| 4.5.3 S175 运动响应及波浪增阻 |
| 4.5.4 50500T波浪增阻 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 基于高阶谱方法生成非线性入射波的多域法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 高阶谱方法理论简介 |
| 5.2.1 描述波浪的初边值问题 |
| 5.2.2 高阶展开形式下的速度势函数 |
| 5.2.3 各阶次速度势边值问题的谱方法求解 |
| 5.2.4 特征函数的选取 |
| 5.2.5 数值实现流程 |
| 5.3 基于高阶谱方法的波浪生成 |
| 5.3.1 波场初始化 |
| 5.3.2 松弛过渡时间段 |
| 5.3.3 非线性波浪场生成 |
| 5.4 高阶谱方法生成的非线性波浪中船舶运动计算 |
| 5.4.1 耦合计算流程 |
| 5.4.2 线性波浪中的验证 |
| 5.4.3 非线性波浪中的计算 |
| 5.5 非线性波浪中参数横摇运动计算 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 论文总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表或录用的论文 |
（6）若干分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 分数阶微积分的背景和研究意义 |
| 1.2 分数阶微分方程边值问题的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 2 分数阶微分包含系统共振边值问题正解的存在性 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 集值映射型Leggett-Williams定理的推广 |
| 2.3 带p-Laplacian算子的分数阶微分包含系统共振边值问题正解的存在性 |
| 3 分数阶隐式微分耦合系统边值问题解的存在性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 改进的k-集压缩算子抽象连续性定理 |
| 3.3 带扰动项的分数阶隐式微分耦合系统周期与反周期边值问题解的存在性 |
| 3.4 分数阶隐式微分耦合系统周期边值问题解的存在性 |
| 4 无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分边值问题解的存在性与多重性 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 改进的Avery-Henderson不动点定理 |
| 4.3 无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分共振边值问题解的存在性 |
| 4.4 无穷区间上Hadamard型分数阶微分方程积分与多点边值问题正解的存在性与多重性 |
| 5 带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的分数阶微分方程边值问题解的存在性与多重性 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的分数阶微分方程Dirichlet问题解的存在性与多重性 |
| 5.3 带瞬时脉冲与非瞬时脉冲的含参分数阶微分方程Dirichlet问题解的多重性 |
| 6 星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性与Ulam型稳定性 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.2 星图上分数阶微分系统边值问题解的存在性与唯一性 |
| 6.3 星图上分数阶微分系统边值问题Ulam型稳定性分析 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（7）几类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的可解性（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景和研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 分数阶微积分简介 |
| 2 分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题解的存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Sturm-Liouville边值问题基态解的存在性 |
| 2.3 Sturm-Liouville边值问题多解的存在性 |
| 3 具有脉冲效应的分数阶p-Laplacian方程边值问题多解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 具有脉冲效应的分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题多解的存在性 |
| 3.3 具有脉冲效应的分数阶p-Laplacian方程耦合系统多解的存在性 |
| 4 分数阶p-Laplacian方程边值问题最大(小)解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 分数阶p-Laplacian方程边值问题最大(小)解的存在性和唯一性 |
| 4.3 反向上下解条件下分数阶p-Laplacian方程边值问题最大(小)解的存在性 |
| 5 变指数分数阶p(t)-Laplacian方程共振边值问题解的存在性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 周期共振边值问题解的存在性 |
| 5.3 积分共振边值问题解的存在性 |
| 6 总结和展望 |
| 6.1 主要结论 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（8）圆柱壳大变形弯曲分析的小波方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 小波理论的发展历史与研究现状 |
| 1.2.1 小波方法在积分方程求解中的应用 |
| 1.2.2 小波方法在力学与结构分析中的应用 |
| 1.2.3 小波方法在微分方程求解中的应用 |
| 1.3 圆柱壳结构问题的国内外研究现状 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 小波数值方法的基础理论 |
| 2.1 L~2(R)空间的多分辨分析与Coiflet小波 |
| 2.1.1 L~2(R)空间的多分辨分析 |
| 2.1.2 广义正交Coiflets小波的构建 |
| 2.1.3 尺度函数导数的计算 |
| 2.1.4 尺度函数积分的计算 |
| 2.1.5 连接系数的计算 |
| 2.2 有限区间上函数的广义Coiflets小波逼近 |
| 2.2.1 任意函数的小波逼近格式 |
| 2.2.2 有限区间上函数的小波逼近 |
| 2.2.3 有限区间上多维函数的小波逼近 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 非线性边值问题的小波解法 |
| 3.1 封闭解法的概念 |
| 3.2 小波封闭解法 |
| 3.3 一维非线性边值问题 |
| 3.3.1 统一求解格式 |
| 3.3.2 一维Bratu方程 |
| 3.4 多维非线性边值问题 |
| 3.4.1 统一求解格式 |
| 3.4.2 二维Bratu方程 |
| 3.4.3 圆柱壳体的一般求解格式 |
| 第四章 非线性圆柱壳的小波解法 |
| 4.1 圆柱壳有矩理论基本方程 |
| 4.1.1 Donnell假设基本内容 |
| 4.1.2 几何方程 |
| 4.1.3 物理方程 |
| 4.1.4 控制方程的推导 |
| 4.2 小波方法求解非线性圆柱壳 |
| 4.2.1 控制方程求解 |
| 4.2.2 结果与讨论 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）求解奇异摄动微分方程的基于随机采样的神经网络方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 奇异摄动问题 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 神经网络理论 |
| 2.1.1 引言 |
| 2.1.2 前馈神经网络 |
| 2.1.3 训练算法 |
| 2.1.4 通用近似定理 |
| 2.2 Legendre多项式及其性质 |
| 第三章 线性奇异摄动微分方程的神经网络解法 |
| 3.1 变系数线性奇异摄动初值和边值问题 |
| 3.2 基于分段和投影技术的Legendre神经网络 |
| 3.2.1 投影技术 |
| 3.2.2 基于投影技术的Legendre神经网络 |
| 3.2.3 分段优化技术 |
| 3.2.4 变系数线性奇异摄动微分方程求解 |
| 3.3 神经网络训练算法 |
| 3.4 数值算例 |
| 第四章 非线性奇异摄动微分方程的神经网络解法 |
| 4.1 非线性奇异摄动初值和边值问题 |
| 4.2 多层神经网络算法 |
| 4.2.1 算法原理 |
| 4.2.2 初边值条件的处理 |
| 4.2.3 训练算法 |
| 4.2.4 采样方法 |
| 4.3 算法流程 |
| 4.4 数值算例 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（10）复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 传统数值计算方法面临的困难 |
| 1.2.1 经典数值方法简述 |
| 1.2.2 小波数值方法的发展 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 小波基函数的基础理论 |
| 2.1 小波多分辨率分析 |
| 2.1.1 多分辨率分析基础 |
| 2.1.2 滤波器系数组的构造 |
| 2.2 广义Coiflets小波基函数 |
| 2.2.1 基函数展开与函数值计算 |
| 2.2.2 积分值的改进计算方法 |
| 2.3 本章的总结 |
| 第三章 强非线性问题的Coiflet小波逼近 |
| 3.1 有限区间上的Coiflet小波逼近格式 |
| 3.1.1 一维基本逼近格式与边界条件施加 |
| 3.1.2 任意阶次边界延拓插值公式与二维实现 |
| 3.2 强非线性问题高精度小波Richardson外推配点方法 |
| 3.2.1 小波外推格式与非线性算子作用法则 |
| 3.2.2 邻近节点内插技术 |
| 3.3 强非线性问题的积分型Coiflet小波逼近格式 |
| 3.3.1 在标准化区间上的小波积分型离散格式 |
| 3.3.2 从简单区间推广到一般区间的考虑 |
| 3.4 本章的总结 |
| 第四章 复杂区域内求解的小波方法 |
| 4.1 任意区域上的嵌入型网格技术 |
| 4.1.1 小波方法的积分节点 |
| 4.1.2 复杂区域上的小波格式 |
| 4.2 边界条件代入与细节调整 |
| 4.2.1 导入不同边界条件的直接形式 |
| 4.2.2 选取合适的参数。 |
| 4.3 时域求解的小波多步方法 |
| 4.3.1 小波隐式多步方法 |
| 4.3.2 小波显式预测-校正算法 |
| 4.4 本章的总结 |
| 第五章 小波方法在边值与初值问题求解的应用 |
| 5.1 强非线性方程的小波解法 |
| 5.1.1 求解p-Laplacian方程 |
| 5.1.2 小波Richardson配点法求解非线性方程 |
| 5.2 不规则二维区域上的小波方法应用 |
| 5.2.1 非线性Poisson方程的求解 |
| 5.2.2 直杆扭转问题 |
| 5.2.3 薄板弯曲问题 |
| 5.3 动态问题的小波多步方法应用 |
| 5.3.1 常微分方程的示例 |
| 5.3.2 偏微分方程的示例 |
| 5.4 本章的总结 |
| 第六章 结束语 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
四、SINGULARLY PERTURBED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SEMI-LINEAR RETARDED DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH NONLINEAR BOUNDARY CONDITIONS（论文参考文献）
- [1]分数阶方程的可解性与稳定性[D]. 任晶. 山西大学, 2021(01)
- [2]一类半线性椭圆型偏微分方程的奇异扰动问题[D]. 冒钱城. 中国科学院大学(中国科学院精密测量科学与技术创新研究院), 2021(01)
- [3]基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题[D]. 侯志春. 兰州大学, 2021(09)
- [4]几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究[D]. 杨录峰. 兰州大学, 2021(09)
- [5]基于多域法的船舶时域非线性水动力分析及大幅运动预报[D]. 周文俊. 上海交通大学, 2020(01)
- [6]若干分数阶微分方程（系统）边值问题解的存在性与多重性[D]. 张伟. 中国矿业大学, 2020
- [7]几类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的可解性[D]. 薛婷婷. 中国矿业大学, 2020(01)
- [8]圆柱壳大变形弯曲分析的小波方法[D]. 万众. 兰州大学, 2020(01)
- [9]求解奇异摄动微分方程的基于随机采样的神经网络方法[D]. 王震. 湘潭大学, 2020(02)
- [10]复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法[D]. 徐聪. 兰州大学, 2020(01)